Ο Αριθμός του Euler ή σταθερά του Napier

Πρόκειται για έναν από τους δημοφιλέστερους άρρητους αριθμούς, ο οποίος είναι και η βάση των νεπέριων λογαρίθμων. Συμβολίζεται με το λατινικό e και ισούται περίπου με 2.71828.
Ο ξεχωριστός αυτός αριθμός μπορεί να ορισθεί με πολλούς τρόπους, με επικρατέστερο το όριο της ακολουθίας (1 + 1/ν) ^ ν.

Ας υποτεθεί πως κάποιος δανείζει σε έναν φίλο 1€ με ετήσιο επιτόκιο 100%. Στο τέλος του έτους προφανώς θα λάβει 1+1= 2€, διπλασιάζοντας το ποσό που δάνεισε. Την επόμενη φορά δανείζει στον ίδιο φίλο 1€ πάλι για έναν χρόνο, αυτή τη φορά με επιτόκιο 50% για κάθε εξάμηνο. Έτσι θα λάβει 1+1/2 ευρώ το πρώτο εξάμηνο και στο τέλος του χρόνου 1+1/2 φορές αυτού του ποσού, δηλαδή (1+1/2)*(1+1/2)= 2.25€.

Με αυτή τη λογική, μπορεί κανείς να παρατηρήσει πως στον ίδιο χρόνο και για το ίδιο ποσό, μπορεί να αυξηθεί το κέρδος για τον δανειστή, αν αυξηθεί η συχνότητα ανατοκισμού μέσα στο χρόνο. Με μια πρώτη σκέψη θα υπέθετε κανείς πως αν αυξηθεί πολύ η συχνότητα ανατοκισμού, θα αυξηθεί ανάλογα και το κέρδος του δανειστή. Φυσικά κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για επιτόκιο 25% ανά τρίμηνο, το ποσό που επιστρέφει στον δανειστή είναι (1+1/4)^4= 2.44€. Όταν λοιπόν διπλασιάστηκε η συχνότητα την πρώτη φορά (από μία σε δύο δόσεις το χρόνο) το κέρδος αυξήθηκε κατά 0.25€, ενώ όταν ξανά-διπλασιάστηκε (από δύο σε τέσσερις δόσεις), αυξήθηκε μόλις κατά 0.19€.

Με πάρα πολλές δοκιμές του ίδιου παραδείγματος μπορεί κανείς να προσέξει, ότιόσο και να αυξήσει τις δανειακές δόσεις, το τελικό ποσό που θα λάβει με το κλείσιμο του έτους δεν θα φτάσει ποτέ στο 3. Για την ακρίβεια, όσο πιο πολλές δόσεις αποπληρωμής έχει το αρχικό δάνειο, τόσο πιο πολύ θα κοντεύει στον Αριθμό του Euler.

Μέσα από το παραπάνω απλό παράδειγμα, γίνεται αντιληπτό το παράδοξο που ενέχει αυτός ο αριθμός. Το όνομά του το πήρε από τον μεγάλο, Ελβετό ΜαθηματικόLeonard Euler, καθώς ήταν αυτός που τον χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το 1736, ως "τον αριθμό, του οποίου ο νεπέριος λογάριθμος ισούται με τη μονάδα". Αργότερα τον συμπεριέλαβε στην σχέση e^(π+i) + 1 = 0. Η σχέση αυτή, που συνδέει τους 5 σημαντικότερους αριθμούς, είναι κατά πολλούς ένα σημάδι τελειότητας σε τέτοιο βαθμό, ώστε να τους οδηγεί στην παραδοχή πως η συγκεκριμένη σχέση, είναι το "σημάδι του Θεού" στην Μαθηματική επιστήμη.

ΠΗΓΗ